.: Maths au collège :.

Cette activité, basée sur l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique, a pour but de conjecturer un résultat puis de la valider à l'aide du théorème de Thalès.

Voici le plan de coupe d’une maison dont le propriétaire souhaite aménager les combles afin de pouvoir tirer parti de cet espace inexploité. Il désire déterminer la position où placer une cloison afin que la hauteur minimale sous plafond soit égale à 1,60 m

Schéma de la situation :

Voici un schéma du comble ACDEF à aménager. ( On signale que la pièce est symétrique par rapport à la droite ( EB ) )
On a coloré en jaune la pièce restante après construction des deux murs [ MN ] et [ OP ]
M est un point libre sur le segment [ AB ] qui symbolise le pied d'une des cloisons que le propriétaire souhaite construire ( la seconde étant choisie afin que la hauteur des deux murs soient la même. )

1) Conjecture du résultat :

a. Déplacez le point M afin que la hauteur minimale sous plafond MN soit égale à 1,60 m.

b. En vous aidant du logiciel, en déduire alors à quelle distance du pied A du mur d'origine faut-il construire le nouveau mur MN?

Nous allons maintenant essayer de valider ce résultat à l'aide d'un théorème de géométrie :

2) Démonstration du résultat mis en évidence à l'aide du logiciel :

a. En supposant que le mur [ MN ] est perpendiculaire au sol [ AC ] et que le point B est le pied de la hauteur issue du sommet E de la toiture. Justifiez que les droites ( MN ) et ( EB ) sont parallèles.

b. On suppose désormais que les points I et K sont les points d'intersection respectifs des droites ( MN ) et ( EB ) avec la droite parallèle à ( AC ) et passant par le point F.

- Déterminez les distances IM et KB

- En déduire la distance EK

c. Quelle doit être la valeur de la longueur IN afin que la hauteur sous plafond soit égale à 1,60 m ?

d. En considérant le triangle EFK, calculez la distance FI et en déduire à quelle distance du pied A du mur d'origine il faut construire le nouveau mur MN?